אוניברסיטת בר-אילן

הפקולטה למדעי היהדות

לשכת רב הקמפוס


ד ף   ש ב ו ע י

מאת היחידה ללימודי יסוד ביהדות

מספר 645

פרשת ויקהל-פקודי, תשס"ו

המונח 'בקע' לפונקציה 'סינוס'

מר"י הישראלי דרך יש"ר מקַנדיאה ועד חזון איש *

אינג' יעקב לוינגר

תל-אביב

מהכתוב בפרשתנו "בֶקַע לַגֻּלְגֹּלֶת, מַחֲצִית הַשֶּׁקֶל בְּשֶׁקֶל הַקֹּדֶשׁ" (לח:כו) מתברר שמשמעות המילה בקע היא 'משקל מחצית השקל'.

שם זה נגזר מן השורש בק"ע שמובנו (בבניין קל) "חצה (לשני חצאים) [1] שבר, חלק, סדק, חרץ, חתך", כפי שמצינו לדוגמה  בפסוק: וַיִּבָּקְעוּ הַמָּיִם (שמ' יד:כא).  

התוכנים ) =אסטרונומים ( והמתרגמים היהודים של ימי הביניים, ובראשם רבי יצחק הישראלי (בן המאה ה-14, טולדו, ספרד), תרגמו במילה בקע את השֵם הערבי גַּ'יְבּ. במונח זה כינו המדענים הערבים הקדמונים את הפונקציה הטריגונומטרית, הנקראת היום סינוּס (= sinus ). [2] מונח זה הושאל מהשפה המתמטית הסנסקריטית, אבל הערבים הבינו אותו במשמעותו בשפתם: 'סדק, חתך (בבגד - לכיס ולהכנסת הראש), כיס של מעות, חֵיק' ועוד.

בחירת המילה בֶּקַע בעברית לפונקציה סינוּס הייתה מוצלחת ביותר, כי המונח 'בקע' משמעו שמדובר בחציו של גודל ידוע אחֵר ובנדוננו: בקטע שהוא חציו של המֵיתר ) = (chord BE הידוע (ראה תרשים בהערה). [3] בכך מתרגם המונח העברי 'בקע' אל נכון את מובניהם הן של המקור הסַנסְקְרִיטי (=חצי - מיתר), הן של  התרגום (השגוי) הערבי   (=חריץ, חתך) והן של המשמעות   המתמטית (=שבר) של המילה.                                          

כבר היוונים הקדמונים הכירו את הפונקציות הטריגונומטריות, אבל ביטאו אותן בצורה שונה במקצת מהמקובל בטריגונומטריה המודרנית. הם ערכו לוחות לגודל המיתר BE כפונקציה של הזווית בקדקוד A (ראה תרשים בהערה 3) וקראו לפונקציה זו chord =מיתר. לוחות מעין אלה אפשר לראות בספר האלמַגֶסט לתוכן היווני הגדול תַלמַי (= Ptolemaeus Claudius ) מאלכסנדריה שבמצרים שחובר קרוב לשנת 150 למניין האזרחי. עיון בתרשים מראה בעליל : בקע ( BC )= מחצית המיתר BE )

התוכן הערבי אל-בתאני שהשפיע רבות על הרמב"ם ערך קרוב לשנת ד'תר"מ ) 880 ( את לוח הסינוסים=הבקעים הקדום ביותר שבידינו, וקרא את הפונקציה החדשה כשמה בסנסקריטית, כפי שכבר הוסבר לעיל.

תוכנים, מתמטיקאים ולמדנים יהודים רבים ערכו לוחות סינוסים וקראו להם לוחות בקעים, כגון היש"ר מקנדיאה, [4] בספרו ספר אֵילִם - גבורות ד' , [5] ובדורות האחרונים – ה"חזון איש", בחיבורו קונטרס על קידוש החודש. [6] לוחות הסינוס הישנים נערכו לרוב לפני הנהגת הצגת הסינוסים כשברים עשרוניים, ולכן ערכי הסינוסים עם 5 מקומות אחרי הנקודה העשרונית, מוכפלים בהם ב-100.000, והם מוצגים כמספרים שלמים. כך הדבר בלוחו של  יש"ר מקנדיאה וכך גם בזה של ה"חזון איש", שהעתיק את לוחו בעיקר מלוח זה. [7]

תקלה מצערת קרתה בלוח הבקעים של ה"חזון איש": הוא הועתק ממהדורה רשלנית של ספר אילם, וכרבע (!) מהערכים בו היו משובשים. [8] כך הוא מופץ עד היום הזה במהדורות אחדות של כתבי ה"חזון איש".

גדולים חקרי לב על שום מה לא העתיק ה"חזון איש" את הסינוסים מלוחות עדכניים שהיו נפוצים ביותר גם בזמנו, [9] והעדיף להעתיקם מספר בן 300 שנה שערכי הסינוס שבו לא היו מדויקים, במושגי הדיוק של זמנו, אף במהדורה המקורית, התקינה בדרך כלל, קל וחומר שלא היו מדויקים במהדורה המשובשת שהייתה תחת ידו. יש חידוש בעצם העובדה שה"חזון איש" לא היסס להביא בספר תורני כשלו את לוח הבקעים וחישובים אחרים בספָרות הלועזיות המודרניות הנהוגות, כפי שעשה לפניו גם יש"ר!

לאחרונה הדפיס הרב חיים קנייבסקי שליט"א, בחיבורו שקל הקדש [10] את לוח הבקעים במתכונת הלוח שהביא ה"חזון איש", אך במהדורה מתוקנת וללא שגיאות.



*     מאמר זה יופיע במתכונת מורחבת, עם הצגת הלוחות הנידונים, בכתב-העת המעין , גיליון פסח, תשס"ו.

[1]      מילון אבן שושן, ערך בקע = חצה ועוד משמעויות. ראה שם גם ערך חצה = חילק לשני חלקים שווים. 

[2]     ראה דיון נרחב וממצה אצל פרופ' גד בן-עמי צרפתי , מונחי המתמטיקה בספרות המדעית העברית של ימי-הביניים , ירושלים תשכ"ט, סעיף 152, עמ' ,108-107 וסעיף 273, עמ' 220-218.

[3]

     

[4]     הרב יוסף שלמה רופא, דלמדיגו ( Delmedigo ; 1655-1591), יליד האי כרֵתִים שביוון, בין היתר תלמידו (בגיל 15!) באסטרונומיה ומתמטיקה של התוכן הגדול גלילאו ( Galileo Galilei , 1564 - 1642 ) באוניברסיטת פדוואה (Padova, Padua ) באיטליה. מצבתו עומדת עד היום בבית העלמין היהודי הישן שבפראג, שבה נפטר.

[5]     מהדורה ראשונה: אמשטרדם ה'שפ"ט (1629), בדפוס מנשה בן ישראל. לוח הבקעים, עמ' קצא. הערכים: בקע 46, 79, 86 שגויים, בנוסף לכ-20 שגיאות עיגול. ס"ה כ - 23 שגיאות. מנקודת ראותנו העכשווית, החיסרון המשותף לכל הלוחות הקדמונים הוא שלא התחשבו עדיין בכללי העיגול הנהוגים בזמננו, ולכן שגיאות עיגול בהם אינן בגדר טעות אמתית. השם אילם ניתן ע"פ הפסוק (שמ' טו:כז) "וַיָּבֹאוּ אֵילִמָה וְשָׁם שְׁתֵּים עֶשְׂרֵה עֵינֹת מַיִם וְשִׁבְעִים תְּמָרִים וַיַּחֲנוּ שָׁם עַל הַמָּיִם". הספר נפתח בשתים עשרה שאלות עמוקות, הלוא הן שתים עשרה עינות המים. בעקבותיהן באות שבעים שאלות ממוקדות יותר, בעלות אופי פרדוקסלי, הלוא הן שבעים התמרים.

[6]     קרליץ , הרב אברהם ישעיהו, וילנא-בני-ברק, תרל"ח-תשי"ג (1953-1878), קונטרס על קדוש החדש, מתוך: חזון איש, יורה דעה, הלכות עבודה זרה, ליקוטים, סימן מא, ירושלים תשי"א, והחל ממהדורת חז"א תשל"ג, אורח חיים , סימן קטו. הועתק, בין היתר, לאוסף   פועל   ה ’, כרך ג'.

[7]     את לוח הבקעים העתיקו עוזריו של ה"חזון איש" מספר אֵילִם , (ראה הערה הבאה), או אולי מזו של אמשטרדם.

[8]     ספר אילם , מהדורת אדעסא, תרכ"ד-כ"ח. לוח הבקעים, עמ' 350. הערכים: בקע 11, 46, 79, 86 שגויים, זאת נוסף על כ-20 שגיאות עיגול בספרה האחרונה כפי שהן מופיעות כבר במהדורה הראשונה של הספר, ס"ה כ - 24 שגיאות מתוך 92 ערכים בלוח.

       שלוש שגיאות (בבקעים 46 ,79, 86) הועתקו מהמהדורה הראשונה, ושגיאה אחת (בקע 11) התחדשה במהדורת אדעסא. מתוך 24 השגיאות כאן, הועתקו ללוח חזון איש 22, מתוכן 20 שגיאות עיגול בספרה האחרונה ו-2 נוספות (בקעים 46 ,79) שלא נתגלו בידי מגיהי ספרו של החזון איש.

[9]     החזון איש הבחין כנראה באי-דיוקים וסתירות בין הלוחות הישנים וכתב ב קונטרס על קידוש החודש , סימן יז: ...ונראה דאין לוח הבקעים נשתוָה [בעבר-י"ל] בין חכמי המִדות, מפני שאינו בדקדוק, היינו עושי הלוחות לא דקדקו בעבר בחישוביהם ולכן הערכים שבלוחות הישנים אינם זהים. אין לייחס ל"חזון איש" את המחשבה שקיימת במדע מחלוקת על ערכי הסינוס, כפי שעולה מדבריו של אברהם קלונימוס (קלמן) קליקשטיין בהשגתו על חזון איש, הערות מתמטיות על הלכות קידוש החדש, ניו-יורק תשל"ח, עמ' 73-72 (ג-ד), הנובעים מאי-הבנת דברי החזון איש.

[10]   שי"ח (=קנייבסקי, הרב  יוסף חיים), שקל הקודש- והוא פירוש וביאור על ספר משנה תורה להרמב"ם ז"ל, בני ברק תשנ"ז. לוח הבקעים שם בעמוד קכד. המחבר הוא אחיינו של החזון איש.